Question

19．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=5，|BC|=6；點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，當(dāng)xy取最大值時(shí)，|$\overrightarrow{AD}$|的值為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出xy取最大值時(shí)D是AD的中點(diǎn)，再利用余弦定理，列出方程組即可求出|$\overrightarrow{AD}$|的值．

解答 解：如圖所示，

△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴x≥0，y≥0，且x+y=1；
∴xy≤${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)“=”成立；
∴D是AD的中點(diǎn)，|BD|=|DC|=3；
設(shè)∠ADB=θ，則∠ADC=π-θ，|AD|=a，
△ABD中，由余弦定理得，3²=a²+3²-2×3×acosθ；…①
△ACD中，由余弦定理得，5²=a²+3²-2×3×acos（π-θ）；…②
由①、②聯(lián)立，解得a=2$\sqrt{2}$，即|$\overrightarrow{AD}$|=2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理與解三角形的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．