Question

7．如圖，AC是圓O的直徑，AC=4，PA，PB是圓O的切線，A，B為其切點，過A作AD⊥BP，交BP于D點，連接AB、BC．
（1）求證：△ABC～△ADB；
（2）若切線AP的長為$2\sqrt{3}$，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AC為⊙O的半徑，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根據(jù)切線的性質(zhì)知：∠ABD=∠ACB，從而可證：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根據(jù)勾股定理可將OP的長求出，利用等面積法，可將AB的長求出．

解答 證明：（1）∵AC是圓O的直徑
∴∠ABC=90°
∵AD⊥BP
∴∠ADB=90°∴∠ABC=∠ADB
∵PB是圓的切線
∴∠ABD=∠ACB
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB
∴△ABC∽△ADB．
（2）連接OP，因為PA是圓O的切線，所以，OA⊥AP，在Rt△AOP中，AP=2$\sqrt{3}$，OA=2，
∴OP=4
由已知可得OP⊥AB，等面積法可得：$\frac{1}{2}AP•OA=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB×OP$，∴AB=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應用．本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．