Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^2x+x²+2ae^x+2ax+2a²（a∈R）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為g（a），則g（a）的最小值1．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值即g（a）的表達(dá)式，從而求出g（a）的最小值即可．

解答 解：f（x）=e^2x+x²+2ae^x+2ax+2a²=（e^x+a）²+（x+a）²，
顯然f（x）在（-∞，-a）遞減，在（-a，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（-a）=（e^-a+a）²，
即g（a）=（e^-a+a）²，
令h（x）=e^-x+x，
問題轉(zhuǎn)化為求|h（x）|的最小值，
h′（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，
令h′（x）＜0，解得：x＜0，
∴h（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴h（x）min=h（0）=1，
∴g（a）的最小值是1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．