Question

5．如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m千米后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n千米范圍內(nèi)（包括邊界）有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．當(dāng)α與β滿足下列（1）（3）（填序號）條件時，該船沒有觸礁危險(xiǎn)．
（1）mcosαcosβ＞nsin（α-β）
（2）mcosαcosβ＜nsin（α-β）
（3）$\frac{m}{n}＞tanα-tanβ$
（4）$\frac{m}{tanα•tanβ}＜\frac{n}{tanα-tanβ}$．

Answer 1

分析 先確定∠MAB、∠AMB的值，再作MC⊥AB，根據(jù)正弦定理可求得BM的關(guān)系式，然后根據(jù)x=BM•cosβ求出CM的值，只要x＞n就沒有觸礁危險(xiǎn)，從而得到答案．

解答 解：由題意可知，∠MAB=$\frac{π}{2}$-α，∠AMB=α-β
過M作MC⊥AB于C，設(shè)CM=x，
根據(jù)正弦定理可得$\frac{m}{sin（α-β）}=\frac{BM}{sin（\frac{π}{2}-α）}=\frac{BM}{cosα}$，
∴BM=$\frac{mcosα}{sin（α-β）}$，
又因?yàn)閤=BM•cosβ=$\frac{mcosαcosβ}{sin（α-β）}$＞n時沒有觸礁危險(xiǎn)，
即mcosαcosβ＞nsin（α-β），（1）正確；
$\frac{m}{n}＞\frac{sin（α-β）}{cosαcosβ}$=tanα-tanβ，（3）正確．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，屬基礎(chǔ)題．