Question

已知函數(shù).

（1）當且時，證明：；

（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，證明：.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為證明，只需利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明該不等式；（2）解法一是利用參數(shù)分離法將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為

來處理；解法二是構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為來處理，求出導數(shù)的根，對與區(qū)間的相對位置進行分類討論，以確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而解決題中的問題；解法三是利用參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化為，從而將問題轉(zhuǎn)化為來處理，而將視為點與點連線的斜率，然后利用圖象確定斜率的最小值，從而求解相應問題；（3）利用分析法將問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式，結(jié)合（1）中的結(jié)論

結(jié)合放縮法證明，最后利用累加法證明相關(guān)不等式證明.

試題解析：（1）證明：要證，即證，

令，則，

在單調(diào)遞增，，

，即成立；

（2）解法一：由且可得，

令，，

由（1）知，

，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，

；

解法二：令，則，

當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，有，------6分

當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

對，恒成立，只需，即；

當時，函數(shù)在上遞減，對，恒成立，只需，

而，不合題意，

綜上得對，恒成立，；

解法三：由且可得，

由于表示兩點、的連線斜率，

由圖象可知在單調(diào)遞減，

故當，，

，即；

（3）當時，，則，

要證，即證，

由（1）可知，又

，，

，

，

故.

考點：1.利用導數(shù)證明函數(shù)不等式；2.參數(shù)分離法；3.直線的斜率；4.放縮法