Question

6．設(shè)點A的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁）（ρ₁≠0，0＜θ₁＜$\frac{π}{2}$），直線l經(jīng)過A點，且傾斜角為α．
（1）證明：l的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ-α）=ρ₁sin（θ₁-α）；
（2）若O點到l的最短距離d=ρ₁，求θ₁與α間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，設(shè)直線l上的任意一點P（ρ，θ）．在△OAP中，利用正弦定理即可得出．
（2）O點到l的短距離d=ρ₁，可得OA⊥l．畫圖即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，
設(shè)直線l上的任意一點P（ρ，θ）．
在△OAP中，由正弦定理可得：$\frac{{ρ}_{1}}{sin（α-θ）}$=$\frac{ρ}{sin[{θ}_{1}+π-α]}$，
化為ρsin（θ-α）=ρ₁sin（θ₁-α），
∴l(xiāng)的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ-α）=ρ₁sin（θ₁-α）．
（2）解：∵O點到l的短距離d=ρ₁，則OA⊥l．
∴θ₁=α±$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、正弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．