Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，（x＞0）}\\{-{e}^{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$，若關(guān)于P的方程f[f（x）]+m=0恰有兩個(gè)不等實(shí)根x₁、x₂，則x₁+x₂的最小值為1-ln2．

Answer 1

分析 可判斷f（x）＜0恒成立；從而化簡(jiǎn)方程為f（x）=-lnm，從而作圖輔助，可知存在實(shí)數(shù)a（a≤-1），使-2x₁=a=-${e}^{-{x}_{2}}$，從而可得x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$-ln（-a），再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，從而確定最值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，（x＞0）}\\{-{e}^{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$，∴f（x）＜0恒成立；
∴f[f（x）]=-e^-f（x），
∵f[f（x）]+m=0，
∴-e^-f（x）+m=0，即f（x）=-lnm；
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，（x＞0）}\\{-{e}^{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$，y=-lnm的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，存在實(shí)數(shù)a（a≤-1），使-2x₁=a=-${e}^{-{x}_{2}}$，
故x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$-ln（-a），
令g（a）=-$\frac{a}{2}$-ln（-a），則g′（a）=-$\frac{2+a}{2a}$，
故當(dāng)a=-2時(shí)，x₁+x₂有最大值1-ln2；
故答案為：1-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及最值問(wèn)題，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化構(gòu)造的方法．