Question

6．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有底面邊長和側(cè)棱長均等于2，D為AC上一點，且BD⊥DC₁，求：
（1）異面直線AB₁與BC₁所成角的大小；
（2）直線A₁B與平面BDC₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）通過建立空間直角坐標系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出異面直線所成的角．
（2）求出平面的法向量，利用向量夾角公式，求出直線A₁B與平面BDC₁所成角的大�。�

解答 解：（1）如圖所示，分別取BC、B₁C₁的中點O、O₁，由正三棱柱的性質(zhì)可得AO、BO、OO₁，兩兩垂直，建立空間直角坐標系．
∵所有棱長都為2，∴A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2），
C₁（0，-1，2）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為$\frac{2}{\sqrt{8}×\sqrt{8}}$=$\frac{1}{4}$
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的大小為arccos$\frac{1}{4}$．
（2）設(shè)直線A₁B與平面BDC₁所成角為α，
∵D為AC上一點，且BD⊥DC₁，
∴D為BC的中點，即O點，
∴平面BDC₁的法向量為$\overrightarrow{OA}$=（$\sqrt{3}$，0，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-$\sqrt{3}$，1，-2），
∴sinα=|$\frac{-3}{\sqrt{3}•\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴直線A₁B與平面BDC₁所成角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用向量的夾角公式得出異面直線所成的角、線面角的方法是解題的關(guān)鍵．