Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$，g（x）=kx-1，若函數(shù)y=f（x）-g（x）有且僅有4個(gè)不同的零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （1，6）
• B． （0，1）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 化簡可得函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$與g（x）=kx-1的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，從而作圖，結(jié)合圖象求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）-g（x）有且僅有4個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$與g（x）=kx-1的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$與g（x）=kx-1的圖象如下，
，
易知直線y=kx-1恒過點(diǎn)（0，-1）；
設(shè)A（x，x²+4x），y′=2x+4；
故2x+4=$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$，
故x=-1；
故k=-2+4=2；
設(shè)B（x，xlnx），y′=lnx+1，
則lnx+1=$\frac{xlnx+1}{x}$，
解得，x=1，故k=ln1+1=1，
結(jié)合圖象可知，
實(shí)數(shù)k的取值范圍為（1，2），
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用．