Question

設(shè)n是給定的正整數(shù)，集合M={

1

2n

，

1

2n+1

，…，

1

22n

}，記M的所有子集分別為M₁，M₂，…，M_t，對(duì)1≤i≤t，用S（M_i）表示M_i中所有元素的和，規(guī)定S（φ）=0，則
①n=2時(shí)S（M₁）+S（M₂）+…+S（M₈）=

 

；
②n∈N^*時(shí)，S（M₁）+S（M₂）+…+S（M_t）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：計(jì)算題,集合

分析：由題意，①n=2時(shí)，M={

1

22

，

1

23

，

1

24

}，從而求和；
②n∈N^*時(shí)，對(duì)M的任一元素a，因?yàn)镸共有2n-n+1=n+1個(gè)元素，故含有元素a的子集為2ⁿ個(gè)，故M的每一元素a在“總和”中均出現(xiàn)2ⁿ次，從而求和．

解答： 解：①n=2時(shí)，M={

1

22

，

1

23

，

1

24

}，
每個(gè)元素在子集中出現(xiàn)2²次，
故8個(gè)子集所有元素和總和為2²（

1

22

+

1

23

+

1

24

）=1+

1

2

+

1

4

=

7

4

；
②n∈N^*時(shí)，對(duì)M的任一元素a，因?yàn)镸共有2n-n+1=n+1個(gè)元素，
故含有元素a的子集為2ⁿ個(gè)，
故M的每一元素a在“總和”中均出現(xiàn)2ⁿ次，
故S(M 1)+S(M2)+…+S(M2N+1)=2n(

1

2n

+

1

2 n+1

+…+

1

22n

)=2-

1

2n

；
故答案為：

7

4

，2-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了元素與集合的關(guān)系應(yīng)用及集合的子集的列舉法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．