Question

已知a，b＞0．
（1）求證：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc；
（2）若4a+b=1，求ab的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）a（b²+c²）+b（c²+a²）=a+b）（c²+ab）≥2

ab

×2

abc2

=4abc．
（2）由已知得1=4a+b≥2

4ab

，由此能求出ab的最大值．

解答： （1）證明：∵a，b＞0．
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）
=ab²+ac²+bc²+ba²
=c²（a+b）+ab（a+b）
=（a+b）（c²+ab）
≥2

ab

×2

abc2

=4abc，
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）解：∵a，b＞0，4a+b=1，
∴1=4a+b≥2

4ab

=4

ab

，
∴

ab

≤

1

4

，
∴ab≤

1

16

．
當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴ab的最大值為

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查兩數(shù)積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意基本不等式的合理運(yùn)用．