Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=-$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n-1}}+1}$（n≥2，且n∈N^*），若{a_n}的前n項和為S_n，則使得S_n＞2016的最小n值是3023．

Answer 1

分析 通過計算確定數(shù)列{a_n}是以2為周期的周期數(shù)列，進而分兩種情況解不等式即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=-$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n-1}}+1}$（n≥2，且n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$=-1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=-$\frac{3}{2}$，即a₂=-$\frac{2}{3}$，
$\frac{1}{{a}_{3}}$=-1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a₃=2，
…
∴數(shù)列{a_n}是以2為周期的周期數(shù)列，
又∵a₁+a₂=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}n+\frac{4}{3}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{2}{3}n，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
當n為奇數(shù)時，S_n＞2016即$\frac{2}{3}$n+$\frac{4}{3}$＞2016，
解得：n＞3022；
當n為偶數(shù)時，S_n＞2016即$\frac{2}{3}$n＞2016，
解得：n＞3024；
綜上所述，使得S_n＞2016的最小n值是3023，
故答案為：3023．

點評 本題考查數(shù)列的通項，找出周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．