Question

7．解不等式
（1）$\sqrt{{x}^{2}+2x-3}$＜x+2；
（2）$\sqrt{2x-1}$＞x-2．

Answer 1

分析 （1）原不等式等價于即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-3＜（x+2）^{2}}\\{{x}^{2}+2x-3≥0}\\{x+2＞0}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）需要分類討論，當x-2＜0，且2x-1≥0時，恒成立，當x-2≥0時，$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞（x-2）^{2}}\\{2x-1＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）$\sqrt{{x}^{2}+2x-3}$＜x+2，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+2x-3}＜x+2}\\{x+2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-3＜（x+2）^{2}}\\{{x}^{2}+2x-3≥0}\\{x+2＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x＞-7}\\{x≤-1或x≥3}\\{x＞-2}\end{array}\right.$，
解得-2＜x≤-1或x≥3，
故不等式的解集為（-2，-1]∪[3，+∞）；
（2）$\sqrt{2x-1}$＞x-2，
當x-2＜0，且2x-1≥0時，恒成立，解得$\frac{1}{2}$≤x＜2，
當x-2≥0時，$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞（x-2）^{2}}\\{2x-1＞0}\end{array}\right.$，解得2≤x＜5，
綜上所述，不等式的解集為[$\frac{1}{2}$，5]．

點評 本題主要考查根式不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．