Question

已知sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

（1）求證：sinα•cosβ=5cosα•sinβ
（2）若已知0＜α+β＜

π

2

，0＜α-β＜

π

2

，求cos2α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知兩式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，相減即可得證；
（2）由sin（α+β）與sin（α-β）的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出cos（α+β）與cos（α-β），由cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： （1）證明：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

1

2

，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

1

3

，
∴2sinαcosβ+2cosαsinβ=1①，3sinαcosβ-3cosαsinβ=1②，
②-①得：sinαcosβ-5cosαsinβ=0，
則sinαcosβ=5cosαsinβ；
（2）∵sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，0＜α+β＜

π

2

，0＜α-β＜

π

2

，
∴cos（α+β）=

3

2

，sin（α-β）=

2 2

3

，
則cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=

3

2

×

2 2

3

-

1

2

×

1

3

=

2 6 -1

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．