Question

18．如圖，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2$\sqrt{2}$cm，當一條垂直于底邊BC（垂足為F）的直線l從左至右移動（與梯形ABCD有公共點）時，直線l把梯形分成兩部分，令BF=x，
（1）試寫出直線l左邊部分的面積f（x）關于x的函數(shù)．
（2）已知A={x|f（x）＜4}，B={x|a-2＜x＜a+2}，若A∪B=B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以通過分類討論明確圖形的特征，再根據(jù)圖形形狀求出函數(shù)的解析式；
（2）利用函數(shù)的解析式求出集合A，再根據(jù)A∪B=B得到A⊆B，得$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥3}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：過點A．D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H．
∵ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB=2$\sqrt{2}$cm，
∴BG=AG=DH=HC=2cm，
又∵BC=7cm，
∴AD=GH=3cm，
①當點F在BG上時，
即x∈（0，2]時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²；
②當點F在GH上時，
即x∈（2，5]時，f（x）=2+（x-2）-2=2x-2．
③當點F在HC上時，
即x∈（5，7）時，y=S_{五邊形ABFED}=S_梯形ACD-S_三角形CEF
f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-7）²+10，
∴函數(shù)解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}，0＜x≤2}\\{2x-2，2＜x≤5}\\{-\frac{1}{2}（x-7）^{2}+10，5＜x≤7}\end{array}\right.$      
（2）A={x|f（x）＜4}，
當0＜x≤2時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²＜4，解得0＜x≤2，
當x∈（2，5]時，f（x）=2x-2＜4，解得2＜x＜3，
當x∈（5，7）時，f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-7）²+10＜4，此時解集為空集，
綜上所述A=（0，3），
B={x|a-2＜x＜a+2}，A∪B=B
∴A⊆B，得$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥3}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，
∴a的取值范圍為[1，2]．

點評 本題考查了函數(shù)的解析式、以及函數(shù)的值域，和集合和集合的關系，屬于中檔題．