Question

8．定義在R上的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x滿足f（1+x）=f（1-x）與f（x+2）=f（x），且當x∈[3，4]時，f（x）=x-2，則$f（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)函數(shù)f（x）關于直線x=1對稱則f（x）=f（2-x），利用性質化$f（\frac{1}{2}）$到區(qū)間[3，4]，代入f（x）=x-2求出函數(shù)值，從而得到函數(shù)值的大小關系．

解答 解：∵對任意實數(shù)x滿足f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)的周期為2，
∵f（1+x）=f（1-x），∴函數(shù)f（x）關于直線x=1對稱，
∴f（x）=f（2-x），
∵當x∈[3，4]時，f（x）=x-2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=f（2-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$+2）=$\frac{7}{2}$-2=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)周期性以及奇偶性與單調性的綜合，同時考查了轉化能力，屬于中檔題．