Question

9．設(shè)函數(shù)f_n′（x）是f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)，f₀（x）=e^x（cosx+sinx），f₁（x）=$\frac{f_0^'（x）}{{\sqrt{2}}}$，f₂（x）=$\frac{f_1^'（x）}{{\sqrt{2}}}$，…，${f_{n+1}}（x）=\frac{f_n^'（x）}{{\sqrt{2}}}$（n∈N），則f₂₀₁₆（x）=（　　）

• A． e^x（cosx+sinx）
• B． e^x（cosx-sinx）
• C． -e^x（cosx+sinx）
• D． e^x（sinx-cosx）

Answer 1

分析 我們易得到f_n（x）表達(dá)式以8為周期，呈周期性變化，由于2016÷8余0，故f₂₀₀₈（x）=f₀（x），進(jìn)而得到答案

解答 解：∵f₀（x）=e^x（cosx+sinx），
∴f₀′（x）=e^x（cosx+sinx）+e^x（-sinx+cosx）=2e^xcosx，
∴f₁（x）=$\frac{f_0^'（x）}{{\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$e^xcosx，
∴f₁′（x）=$\sqrt{2}$e^x（cosx-sinx），
∴f₂（x）=$\frac{f_1^'（x）}{{\sqrt{2}}}$=e^x（cosx-sinx），
∴f₂′（x）=e^x（cosx-sinx）+e^x（-sinx-cosx）=-2e^xsinx，
∴f₃（x）=-$\sqrt{2}$e^xsinx，
∴f₃′（x）=-$\sqrt{2}$e^x（sinx+cosx），
∴f₄（x）=-e^x（cosx+sinx），
∴f₄′（x）=-2e^xcosx，
∴f₅（x）=-$\sqrt{2}$e^xcosx，
∴f₆（x）=-e^x（cosx-sinx），
∴f₇（x）=$\sqrt{2}$e^xsinx，
∴f₈（x）=e^x（cosx+sinx），
…，
∴f₂₀₁₆（x）=f（0）=e^x（cosx+sinx），
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的周期性，函數(shù)的值，其中根據(jù)已知中的遞推式得到f_n（x）表達(dá)式以8為周期，呈周期性變化，是解答本題的關(guān)鍵．