Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+3，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由f（x）≥a分離參數(shù)a，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=

-x2-3

x-1

（x＞1），由導(dǎo)數(shù)求得最大值后可得a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=x²+ax+3，則f（x）≥a化為x²+ax+3≥a，
即a（x-1）≥-x²-3，
當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a上式成立；
當(dāng)a＞1時(shí)，由a（x-1）≥-x²-3，得a≥

-x2-3

x-1

，
令g（x）=

-x2-3

x-1

（x＞1），
g′(x)=

(-x2-3)′(x-1)-(-x2-3)(x-1)′

(x-1)2

=

-2x(x-1)-(-x2-3)

(x-1)2

=

-x2+2x+3

(x-1)2

=-

(x+1)(x-3)

(x-1)2

．
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)g（x）有極大值，也是最大值，等于

-32-3

3-1

=-6．
∴a≥-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了分離變量法求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．