Question

17．在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a=2，b=3，c=4，則$\frac{sin2A}{sinB}$=$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值得解．

解答 解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{11}{16}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
∴$\frac{sin2A}{sinB}$=$\frac{2sinAcosA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{15}}{8}×\frac{7}{8}}{\frac{3\sqrt{15}}{16}}$=$\frac{7}{6}$．
故答案為：$\frac{7}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．