Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左頂點為A，上頂點為B且△AOB的面積為4．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=x+m交橢圓E于點G，H，原點O到直線l的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，試判斷點O與以線段GH為直徑的圓的位置關(guān)系，并給出理由．

Answer 1

分析 （1）A（-a，0），B（0，b），S_△AOB=$\frac{1}{2}$ab=4，可得ab=8，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）點O在以線段GH為直徑的圓上．證明如下：設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程化為：5x²+8mx+4m²-16=0，△＞0．原點O到直線l的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，可得5m²=32．把根與系數(shù)關(guān)系代入可得$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）A（-a，0），B（0，b），S_△AOB=$\frac{1}{2}$ab=4，可得ab=8，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，b=2．
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）點O在以線段GH為直徑的圓上．證明如下：設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：5x²+8mx+4m²-16=0，
△=64m²-20（4m²-16）＞0，化為：m²＜20．
∴x₁+x₂=$\frac{-8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-16}{5}$，
∵原點O到直線l的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，可得5m²=32．
∵$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=m×$\frac{-8m}{5}$+2×$\frac{4{m}^{2}-16}{5}$+m²=$\frac{5{m}^{2}-32}{5}$=0，
∴$\overrightarrow{OG}⊥\overrightarrow{OH}$，
∴點O在以線段GH為直徑的圓上．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、數(shù)量積運算性質(zhì)、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．