Question

定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y=f（x），若對(duì)任意的x₁、x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數(shù)y=f（x）為“Storm函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R）．
（1）若a=2，求過點(diǎn)（1，2）處的切線方程；
（2）函數(shù)f（x）是否為“Storm函數(shù)”？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求切線斜率，即y′|_x=1，然后由點(diǎn)斜式即可求出切線方程．
（2）用導(dǎo)數(shù)法來求其最大值和最小值即可判斷．

解答： 解：（1）y′=3x²-1，y′|_x=1=3-1=2，即函數(shù)y=x³-x+2在點(diǎn)（1，2）處的切線斜率是2，
所以切線方程為：y-2=2（x-1），即y=2x．
（2）函數(shù)f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R，
導(dǎo)數(shù)是f′（x）=3x²-1，f′（x）=0得x=±

3

3

，
當(dāng)x=

3

3

時(shí)，f（x）=a-

2 3

9

，
當(dāng)x=-

3

3

時(shí)，f（x）=a+

2 3

9

，又f（±1）=a，
故f（x）的最大值為a+

2 3

9

，最小值為a-

2 3

9

．
即有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max-f_min|=

4 3

9

＜1，
故函數(shù)f（x）是“Storm函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為已知的去解決，主要涉及了恒成立問題，函數(shù)的最值求法等．