Question

11．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，${a_{n+1}}=2{a_n}（n∈{N^*}）$，${b_1}+\frac{1}{2}{b_2}+\frac{1}{3}{b_3}+…+\frac{1}{n}{b_n}={b_{n+1}}-1（n∈{N^*}）$
（1）求a_n與b_n；
（2）記c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由已知數(shù)列遞推式得到數(shù)列{b_n}為常數(shù)列，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}和{b_n}代入c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由a₁=2，a_n+1=2a_n，得a_n=2ⁿ（n∈N^*）．
由${b_1}+\frac{1}{2}{b_2}+\frac{1}{3}{b_3}+…+\frac{1}{n}{b_n}={b_{n+1}}-1（n∈{N^*}）$，①得
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=b₂-1，故b₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，$_{1}+\frac{1}{2}_{2}+\frac{1}{3}_{3}+…+\frac{1}{n-1}_{n-1}=_{n}-1$，②
①-②得：$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-b_n，
整理得$\frac{bn+1}{n+1}$=$\frac{bn}{n}$，
∴b_n=n（n∈N^*）．
則a_n=2ⁿ，b_n=n；
（2）由c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$，可知${c_n}=\frac{1}{{{2^n}•{2^{n+1}}}}-\frac{1}{n（n+1）}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}×{2}^{2}}-\frac{1}{1×2}+\frac{1}{{2}^{2}×{2}^{3}}-\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}{2}^{n+1}}-\frac{1}{n（n+1）}$
=（$\frac{1}{8}+\frac{1}{{2}^{5}}+…+\frac{1}{{2}^{2n+1}}$）-（$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}$）
=$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-（1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）-\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．