Question

14．已知函數(shù)f（x）=|log₂x|，g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{\frac{1}{8}|{{x^2}-9}|，x＞1}\end{array}}$，若方程f（x）-g（x）=1在[a，+∞）上有三個(gè)實(shí)根，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 將方程f（x）-g（x）=1有三個(gè)實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）-1與y=g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象確定a的取值范圍

解答 ∵f（x）-g（x）=1在[a，+∞）上有三個(gè)實(shí)根
∴f（x）-1=g（x）在[a，+∞）上有三個(gè)實(shí)根
∴函數(shù)y=f（x）-1與y=g（x）的圖象在x∈[a，+∞）上有三個(gè)交點(diǎn)
作出y=f（x）-1和y=g（x）的圖象

從圖象可知，0＜x_A＜1，y_A=0；x_B＞1，x_C＞1
令f（x）-1=|log₂x|-1=0，得x=$\frac{1}{2}$，或x=2，故${x}_{A}=\frac{1}{2}$
∴$a≤\frac{1}{2}$
又∵a為正實(shí)數(shù)
∴$0＜a≤\frac{1}{2}$，
故答案為：$（0，\frac{1}{2}]$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題以及分段函數(shù)的圖象，將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求出a的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．