Question

5．給出以下命題：
①若a＞b＞0，d＜c＜0，$\frac{{\sqrt{a}}}{c}＜\frac{{\sqrt}}mynkxps$；
②如果p₁•p₂≥4$\sqrt{{q_1}{q_2}}$，則關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x²+p₁x+q₁=0，x²+p₂x+q₂=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根；
③若x≠kπ，k∈Z，則sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；
④當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=x-$\frac{1}{x}$無(wú)最大值．
其中真命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 逐項(xiàng)判斷4個(gè)命題的正誤．①利用不等式的基本性質(zhì)即可求解；②正確理解“至少一個(gè)”．可從反面來(lái)求，易得；③注意基本不等式的前提，即可判斷；④由已知函數(shù)的單調(diào)性易得．

解答 解：①∵a＞b＞0，∴$\sqrt{a}＞\sqrt$，
又d＜c＜0，∴$\frac{1}zpskuwg＜0，\frac{1}{c}＜0$且$\frac{1}nvfxisf＞\frac{1}{c}$，
∴$-\frac{1}{c}＞-\frac{1}hxpkozu＞0$，
∴$\sqrt{a}•（-\frac{1}{c}）＞\sqrt•（-\frac{1}oedqthq）$，
∴$\frac{\sqrt{a}}{c}＜\frac{\sqrt}fyifevc$，故①正確；
②命題的逆否命題為：若兩個(gè)方程都無(wú)實(shí)根，則${{p}_{1}p}_{2}＜4\sqrt{{{q}_{1}q}_{2}}$，
若兩個(gè)方程都無(wú)實(shí)根，則有$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}{{=p}_{1}}^{2}-{4q}_{1}＜0}\\{{△}_{2}{{=p}_{2}}^{2}-{4q}_{2}＜0}\end{array}\right.$，
∴${{p}_{1}}^{2}＜{4q}_{1}$，${{q}_{2}}^{2}＜{4q}_{2}$，∴${{p}_{1}}^{2}{{•p}_{2}}^{2}＜1{{6q}_{1}q}_{2}$，∴${{p}_{1}p}_{2}＜4\sqrt{{{q}_{1}q}_{2}}$，故其逆命題正確，所以原命題正確，即②正確；
③取$x=-\frac{π}{2}$≠kπ，此時(shí)$sinx+\frac{1}{sinx}=-2＜2$，故③錯(cuò)誤；
④∵函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$在（0，2]上是增函數(shù)，所以函數(shù)在（0，2]上有最大值f（2）=$\frac{3}{2}$，故④錯(cuò)誤．
綜上可知，①②正確故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式性質(zhì)，基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性．屬于易錯(cuò)題．