Question

20．已知函數(shù)f（x）=a^2x-2a^x+1+2（a＞0，a≠1）的定義域為x∈[-1，+∞）
（1）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（2）當0＜a＜1時，若至少存在x₀∈[-2，-1]使得f（x₀）≤3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=2代入函數(shù)解析式，換元后利用配方法求最值；
（2）當0＜a＜1時，令${t_0}={a^{x_0}}$，x₀∈[-2，-1]，得${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，則問題化為至少存在${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，使得$h（{t_0}）={t_0}^2-2a{t_0}+2≤3$成立，分離參數(shù)a后，利用函數(shù)的單調(diào)性求得答案．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=2^2x-4×2^x+2，x∈[-1，+∞）．
令${2}^{x}=t（t≥\frac{1}{2}）$，則y=g（t）=t²-4t+2，$t∈[\frac{1}{2}，+∞）$，
得y∈[-2，+∞），
∴y=f（x）的最小值是-2；
（2）當0＜a＜1時，令${t_0}={a^{x_0}}$，x₀∈[-2，-1]，得${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，
則問題化為至少存在${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，使得$h（{t_0}）={t_0}^2-2a{t_0}+2≤3$成立，
即$2a≥{t_0}-\frac{1}{t_0}$成立，
即$2a≥{（{t_0}-\frac{1}{t_0}）_{min}}$．
在${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$上，函數(shù)${t_0}-\frac{1}{t_0}$單調(diào)遞增，${（t-\frac{1}{t}）_{min}}=\frac{1}{a}-a$，
∴$2a≥\frac{1}{a}-a$，即$3a≥\frac{1}{a}$，則$a≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴a的取值范圍是$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是中檔題．