Question

11．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=6．若E，F(xiàn)分別是棱BB₁，CC₁上的點(diǎn)，則三棱錐A-A₁EF的體積是8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 用三棱柱的體積減去三棱錐A₁-EFC₁B₁和三棱錐A-BCFE的體積．

解答 解：取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，則AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
∵△ABC是等邊三角形，AB=4，
∴AD=2$\sqrt{3}$．
∵AA₁∥平面BCC₁B₁，E，F(xiàn)是BB₁，CC₁的中點(diǎn)，
∴V_A-BCFE=V${\;}_{{A}_{1}-EF{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形BCFE}•AD$=$\frac{1}{3}×4×3×2\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴V${\;}_{A-{A}_{1}EF}$=V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-2V_A-BCFE=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×6$-2×$8\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案為：8$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．