Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1，直線l₁：x=1，l₂：y=e^t-1（t為常數(shù)，且0≤t≤1），直線l₁，l₂與函數(shù)f（x）的圖象圍成的封閉圖形，以及直線l₂，y軸與函數(shù)f（x）的圖象圍成的封閉圖形如圖中陰影所示．當(dāng)t變化時(shí)陰影部分的面積的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由題意及圖，可選用定積分求面積，由于陰影部分為兩塊，可求出函數(shù)f（x）=e^x-1與直線l₂：y=e^t-1（t為常數(shù)，且0≤t≤1）交點(diǎn)，確定出兩部分相應(yīng)函數(shù)的積分上下限，確定出被積函數(shù)，再由積分的運(yùn)算求出面積的最值

解答：解：陰影部分面積為s（t）=（e^t-1）×t-∫₀^t（e^x-1）dx+∫_t¹（e^x-1）dx-（e^t-1）（1-t），
整理得s（t）=（e^t-1）×（2t-1）-∫₀^t（e^x-1）dx+∫_t¹（e^x-1）dx，
=2te^t-3e^t+e+1
∴s′（t）=2te^t-e^t，令s^′（t）=0得t=

1

2

，
則最小值為s（

1

2

）=(

e

-1)2．
故答案為(

e

-1)2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分與導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是一道綜合題型，關(guān)鍵是求出目標(biāo)函數(shù)．