Question

設(shè)x＞0，求證：

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：令

x+1

x

=t，則x=

1

t-1

（t＞1），原不等式即為1-

1

t

＜lnt＜t-1．令f（t）=t-1-lnt，g（t）=lnt-1+

1

t

，分別求出它們的導(dǎo)數(shù)，判斷在t＞1上的單調(diào)性，再由單調(diào)性即可得證．

解答： 證明：令

x+1

x

=t，則x=

1

t-1

（t＞1），
原不等式即為1-

1

t

＜lnt＜t-1．
令f（t）=t-1-lnt，f′（t）=1-

1

t

，
當(dāng)t＞1時(shí)，f′（t）＞0，即f（t）在t＞1時(shí)遞增，
即有f（t）＞f（1）=0，
即為lnt＜t-1；
令g（t）=lnt-1+

1

t

，g′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

，
當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＞0，即g（t）在t＞1遞增，
則g（t）＞g（1）=0，
即為lnt＞1-

1

t

．
即有1-

1

t

＜lnt＜t-1．
故有原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查換元法和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查推理能力，屬于中檔題．