Question

15．已知點(diǎn)P是曲線f（x）=x³-x上的點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1．
（I）求證：函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）求曲線f（x）在點(diǎn)P處的切線方程．

Answer 1

分析 （I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線f（x）在點(diǎn)P處的切線方程．

解答 證明：（I）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-1，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=3x²-1≥3-1=2，
則f′（x）＞0恒成立，即可函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-1，
則f′（1）=3-1=2，
即f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率k=f′（1）=2，
∵f（1）=1³-1=0，∴P（1，0），
則曲線f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y=2（x-1）=2x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．