Question

3．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分折，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析．
（I）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）
（Ⅱ）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對(duì)應(yīng)如表：

學(xué)生序號(hào)i	1	2	3	4	5	6	7
數(shù)學(xué)成績xi	60	65	70	75	85	87	90
物理成績yi	70	77	80	85	90	86	93

（i）若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（ii）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績y關(guān)于數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?br />附：回歸直線的方程是：$\widehat{y}=bx+a$，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}-b\overline{x}$．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$
76	83	812	526

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）（i）ξ的取值為0，1，2，3，計(jì)算出相應(yīng)的概率，即可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（ii）根據(jù)條件求出線性回歸方程，進(jìn)行求解即可．

解答 （Ⅰ）解：依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為$\frac{7}{42}×24=4$名，
18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為$\frac{7}{42}×$18=3名，
故不同的樣本的個(gè)數(shù)為${C}_{24}^{4}{C}_{18}^{3}$．
（Ⅱ） （�。┙猓骸�7名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，
∴ξ的取值為0，1，2，3．
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

Eξ=0×$\frac{4}{35}$+1×$\frac{18}{35}$+2×$\frac{12}{35}$+3×$\frac{1}{35}$=$\frac{9}{7}$．
（ⅱ）解：∵b=$\frac{526}{812}≈$0.65，a=$\overline{y}-b\overline{x}$=83-0.65×75=33.60．
∴線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.65x+33.60
當(dāng)x=96時(shí)，$\widehat{y}$=0.65×96+33.60=96．
可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分層抽樣，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望以及線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)．