Question

17．已知A（1，2），B（-1，2），動點P滿足$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 設P（x，y），由動點P滿足AP⊥BP，即有x²+（y-2）²=1，求出雙曲線的漸近線方程，運用圓心到直線的距離大于半徑，得到3a²＞b²，再由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到范圍．

解答 解：設P（x，y），由于點A（1，2）、B（-1，2），
動點P滿足$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，
則（x-1，y-2）•（x+1）（y-2）=0，
即（x-1）（x+1）+（y-2）²=0，
即有x²+（y-2）²=1，
設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，
由于這條漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，
則d=$\frac{|2a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＞1，
即有3a²＞b²，由于b²=c²-a²，
則c²＜4a²，即c＜2a，則e=$\frac{c}{a}$＜2，
由于e＞1，則有1＜e＜2．
故答案為：（1，2）．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．