Question

16．x＞0，y＞0，xy=x+9y+7，求
（1）xy的最小值；
（2）x+9y的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本不等式便有$x+9y≥6\sqrt{xy}$，這樣即可得出$xy-7≥6\sqrt{xy}$，從而得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{xy＞7}\\{（xy-7）^{2}≥36xy}\end{array}\right.$，解該不等式組便可得出xy的范圍，從而得出xy的最小值為49；
（2）而由基本不等式可得$x+9y≥6\sqrt{xy}$，這樣由xy的最小值為49即可得出x+9y的最小值，并看出x+9y無最大值．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0；
∴$xy=x+9y+7≥6\sqrt{xy}+7$，當(dāng)且僅當(dāng)x=9y=21時取“=”；
∴$xy-7≥6\sqrt{xy}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy＞7}\\{（xy-7）^{2}≥36xy}\end{array}\right.$；
解得：xy≥49；
∴xy的最小值為49；
（2）∵xy≥49，x，y＞0；
∴$x+9y≥6\sqrt{xy}≥42$；
即x+9y有最小值42，無最大值．

點評 考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式所具備的條件，以及判斷等號能否取到，不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的解法．