【題目】已知x,y∈R.
(Ⅰ)若x,y滿足 , ,求證: ;
(Ⅱ)求證:x4+16y4≥2x3y+8xy3 .
【答案】證明:(Ⅰ)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得: |x|= [|2(x﹣3y)+3(x+2y)|]≤ [|2(x﹣3y)|+|3(x+2y)|]< (2× +3× )= ;
(Ⅱ)因?yàn)閤4+16y4﹣(2x3y+8xy3)=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3(x﹣2y)+8y3(2y﹣x)
=(x﹣2y)(x3﹣8y3)=(x﹣2y)(x﹣2y)(x2+2xy+4y2)
=(x﹣2y)2[(x+y)2+3y2]≥0,
∴x4+16y4≥2x3y+8xy3
【解析】(Ⅰ)|x|= [|2(x﹣3y)+3(x+2y)|]≤ [|2(x﹣3y)|+|3(x+2y)|]< (2× +3× )= ;(Ⅱ)x4+16y4﹣(2x3y+8xy3)=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3(x﹣2y)+8y3(2y﹣x)=(x﹣2y)2[(x+y)2+3y2]≥0即可
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解不等式的證明的相關(guān)知識(shí),掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x-),x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-,]上的最小值和最大值,并求出取得最值時(shí)x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn), 為橢圓的左焦點(diǎn)且橢圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右頂點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),當(dāng)的面積取得最大值時(shí),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在拋物線y=x2與直線y=2圍成的封閉圖形內(nèi)任取一點(diǎn)A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線OA被該封閉圖形解得的線段長(zhǎng)小于 的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足 ,an+1bn=bn+1an+bn , 且 (n∈N*),則數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n取最大值時(shí),n= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若P(x,y)是直線l與圓面 的公共點(diǎn),求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,面.
(1)求四棱錐S-ABCD的體積;
(2)求證:面
(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值。
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