Question

已知函數f（x）=ln

1+x

1-x

，x₁，x₂∈（-1，1）．
（1）求證：f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）；
（2）若a，b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

）=1，f（-b）=

1

2

，求f（a）的值．

Answer 1

考點：對數的運算性質,對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知條件利用對數的性質和運算法則能證明f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）．
（2）由已知得f（b）=-

1

2

，f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，由此能求出f（a）=1-f（b）=1+

1

2

=

3

2

．

解答： （1）證明：∵f（x）=ln

1+x

1-x

，x₁，x₂∈（-1，1），
∴f（x₁）+f（x₂）
=ln

1+x1

1-x1

+ln

1+x2

1-x2

=ln(

1+x1

1-x1

•

1+x2

1-x2

)
=ln

1+x1x2+x1+x2

1+x1x2-x1-x2

=ln

1+ x1+x2 1+x1x2

1- x1+x2 1+x1x2

=f（

x1+x2

1+x1x2

），
∴f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）．
（2）解：∵a，b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

）=1，f（-b）=

1

2

，
∴f（b）=-

1

2

，
f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，
∴f（a）=1-f（b）=1+

1

2

=

3

2

．

點評：本題考查等式的證明，考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意對數運算法則的合理運用．