Question

設(shè)F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）=lg（x-1），并且僅當(dāng)（x₀，y₀）在y=lg（x-1）的圖象上時(shí)，（2x₀，2y₀）在y=g（x）的圖象上．
（1）寫出g（x）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x在什么區(qū)間時(shí)，F(xiàn)（x）≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中僅當(dāng)（x₀，y₀）在y=lg（x-1）的圖象上時(shí)，（2x₀，2y₀）在y=g（x）的圖象上．可得y=g（x）的圖象上的點(diǎn)（x，y）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（

1

2

x，

1

2

y）在y=lg（x-1）的圖象上，代入整理可得g（x）的函數(shù)解析式；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=lg

x-1

( 1 2 x-1)2

，（x＞2），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得

x-1 ( 1 2 x-1)2 ≥1 x＞2

，解得答案．

解答： 解：（1）∵僅當(dāng)（x₀，y₀）在y=lg（x-1）的圖象上時(shí)，（2x₀，2y₀）在y=g（x）的圖象上．
∴y=g（x）的圖象上的點(diǎn)（x，y）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（

1

2

x，

1

2

y）在y=lg（x-1）的圖象上，
即

1

2

y=lg（

1

2

x-1），
即g（x）=2lg（

1

2

x-1），（x＞2），
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=lg（x-1）-2lg（

1

2

x-1）=lg

x-1

( 1 2 x-1)2

，（x＞2），
∴不等式F（x）≥0可化為

x-1 ( 1 2 x-1)2 ≥1 x＞2

，
解得：2＜x≤4+2

2

，
故當(dāng)x∈（2，4+2

2

]時(shí)，F(xiàn)（x）≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解及常用方法，難度中檔．