Question

14．{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是方程x²-c_nx+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=0的兩根，且a₁=2，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 由題意知a_n+a_n+1=c_n，a_na_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，從而可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，從而寫出a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-2}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，討論n以求S_n，最后以分段形式寫出即可．

解答 解：∵a_n，a_n+1是方程x²-c_nx+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=c_n，a_na_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∵a_na_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，a_n+1a_n+2=（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
故數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$，偶數(shù)項成等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$；
可知a₁=2，a₂=$\frac{1}{6}$；
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-2}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
當n為奇數(shù)時，
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）+（a_n+a_n+1）
=2（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n+a_n+1）-（a_n+1+a₁）
=2（$\frac{2（1-（\frac{1}{3}）^{\frac{n+1}{2}}）}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{\frac{1}{6}（1-（\frac{1}{3}）^{\frac{n+1}{2}}）}{1-\frac{1}{3}}$）-（2+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n+1}{2}}$）
=4$\frac{1}{2}$-7•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n+1}{2}}$；
當n為偶數(shù)時，
S_n=S_n-1+c_n=4$\frac{1}{2}$-7•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$+a_n+a_n+1
=4$\frac{1}{2}$-7•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$+2（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$
=4$\frac{1}{2}$（1-（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$）．
綜上所述，
S_n=$\left\{\begin{array}{l}{4\frac{1}{2}-7•\frac{1}{{3}^{\frac{n+1}{2}}}，n為奇數(shù)}\\{4\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{\frac{n}{2}}}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了學(xué)生的化簡能力分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了構(gòu)造法的應(yīng)用．