Question

【題目】已知函數(shù) .

(1)當時,討論的單調性；

(2)設，當時,若對任意,存在使,求實數(shù)取值.

Answer 1

【答案】（1）當時,函數(shù)在上單調遞減；函數(shù)在上單調遞增；當時,函數(shù)在上單調遞減；

當時,函數(shù)在上單調遞減；函數(shù)在上單調遞增;函數(shù)在上單調遞減；（2）．

【解析】分析：（1）先求定義域，再對函數(shù)求導， ，

令 ，分，，，，四種情況考慮h(x)零點情況及正負情況，得函數(shù)f(x)的單調區(qū)間。

（2）因為,由于(I)知,在上的最小值為，

由題意可知“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函數(shù)的“三點一軸”分類討論求得g(x)的最小值，再求得b范圍。

詳解：(1)定義域

因為

所以

令

(i)當時,

所以當時, ,此時,函數(shù)單調遞增;

當時, ,此時,函數(shù)單調遞增

(ii)當時,由,

即,解得

①當時, ，恒成立,此時,函數(shù)在上單調遞減;

②當時,

時, ,此時,函數(shù)單調遞減；

時, ,此時,函數(shù)單調遞增；

時, ,此時,函數(shù)單調遞減；

③當時,由于

時, ,此時,函數(shù)單調遞減；

時, ,此時,函數(shù)單調遞增；

綜上所述:

當時,函數(shù)在上單調遞減；

函數(shù)在上單調遞增；

當時,函數(shù)在上單調遞減；

當時,函數(shù)在上單調遞減；

函數(shù)在上單調遞增;

函數(shù)在上單調遞減

(2)因為,由于(I)知, ,當時, ,

函數(shù)單調遞減:當時, ,函數(shù)單調遞增,所以在上的最小值為

由于“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”

又,,所以

①當時,因為 ,此時與矛盾

②當時,因為,同樣與矛盾

③當時,因為，解不等式

可得

綜上, 的取值范圍是．