Question

10．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及其相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，m）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的最大值求出答案；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的減區(qū)間求出f（x）的減區(qū)間，結(jié)合條件求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$  
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，即$x=\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$時(shí)，
f（x）取到最大值為2； （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$
所以，函數(shù)法f（x）在區(qū)$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$間上單調(diào)遞減，
∵f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，m）上單調(diào)遞減，
∴$\frac{π}{6}＜m≤\frac{2π}{3}$，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式，以及整體思想的應(yīng)用．