Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），M是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，點(diǎn)P的軌跡為曲線C₂．
（1）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）在（1）的極坐標(biāo)系中，射線θ=$\frac{π}{3}$與C₁異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C₂異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到M的坐標(biāo)，代入曲線C₁后可得點(diǎn)P的軌跡方程C₂，可求曲線C₂的極坐標(biāo)方程．
（2）求出曲線C₁和C₂的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立射線θ=$\frac{π}{3}$，求得射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₁，C₂交于不同于原點(diǎn)的點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)，則|AB|可求．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）設(shè)P（x，y），則由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$知$M（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$．
由于：M點(diǎn)在C₁上，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=2cosα}\\{\frac{y}{2}=2+2sinα}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=4+4sinα}\end{array}\right.$，
從而：C₂的普通方程為x²+y²-8y=0，
所以：C₂的極坐標(biāo)方程為：ρ=8sinθ．…（5分）
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ．
射線θ=$\frac{π}{3}$與C₁的交點(diǎn)A的極徑為ρ₁=4sin$\frac{π}{3}$，
射線$θ=\frac{π}{3}$與C₂的交點(diǎn)B的極徑為ρ₂=8sin$\frac{π}{3}$．
所以：|AB|=|ρ₂-ρ₁|=2$\sqrt{3}$．-------------------------------------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的有關(guān)內(nèi)容，求解時(shí)既可以化成直角坐標(biāo)方程求解，也可以直接求解，關(guān)鍵是掌握兩種坐標(biāo)系下的曲線與方程的關(guān)系與其他知識(shí)的聯(lián)系，是基礎(chǔ)題．