Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c為常數(shù)，n∈N^*），a₁，a₂，a₅構(gòu)成公比不等于1的等比數(shù)列．記b_n=

1

anan+1

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）設{b_n}的前n項和為R_n，是否存在正整數(shù)k，使得R_k≥2^k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）確定a₂=1+c，a₅=1+4c，利用a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，求c的值；
（Ⅱ）利用裂項法求出{b_n}的前n項和為R_n，再計算出是否存在正整數(shù)k．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+c，a=1，c為常數(shù)，
∴{a_n}是以1為首項，c為公差的等差數(shù)列，∴a_n=1+（n-1）c．…（2分）
∴a₂=1+c，a₅=1+4c．
又a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，∴（1+c）²=1+4c，
解得c=0或c=2．
當c=0時，a_n+1=a_n不合題意，舍去．∴c=2．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．…（5分）
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（6分）
∴Rn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…（9分）
假設存在正整數(shù)k，使得Rk≥2k，即

k

2k+1

≥2k，
∵

k

2k+1

=

1

2+ 1 k

隨k的增大而增大，∴

k

2k+1

∈[

1

3

，

1

2

)，而2^k≥2
∴不存在正整數(shù)k，使得Rk≥2k成立．…（12分）

點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求出，會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，考查數(shù)列遞推式的求解及相關計算．是一道綜合題．