Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，），橢圓C的離心率e=．

（1）求橢圓C的方程；

（2）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且△ABC的重心是原點(diǎn)O，證明：△ABC的面積是定值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）（證明過程略）

【解析】

試題分析：（1）由可得即，又橢圓過點(diǎn)（1，），則，∴，

，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)、、，則因重心是

原點(diǎn)可得：，即，，當(dāng)直線的斜率不

存在時(shí)，或，此時(shí)；當(dāng)直線

的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由可得：，

，由韋達(dá)定理得則

，因此又在橢圓上，所以即，化簡得，而，點(diǎn)到直線的距離是，所以，綜上所述，的面積是定值．

試題解析：（1）由已知可得：，，

∴，

又由已知得：，∴，

∴橢圓的方程為，

（2）設(shè)、、，則因重心是原點(diǎn)可得：

，

∴，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，或，此時(shí)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由可得：，

∴

∴

∵在橢圓上，∴

∴，，

∴，

而

點(diǎn)到直線的距離是

∴

綜上所述，的面積是定值．

考點(diǎn)：1.橢圓的方程與性質(zhì)；2.直線與橢圓相交的相關(guān)問題；3.三角形的重心與面積計(jì)算