Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，），橢圓C的離心率e=．

（1）求橢圓C的方程；

（2）△ABC的三個頂點都在橢圓上，且△ABC的重心是原點O，證明：△ABC的面積是定值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）（證明過程略）

【解析】

試題分析：（1）由可得即，又橢圓過點（1，），則，∴，

，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)、、，則因重心是

原點可得：，即，，當(dāng)直線的斜率不

存在時，或，此時；當(dāng)直線

的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由可得：，

，由韋達定理得則

，因此又在橢圓上，所以即，化簡得，而，點到直線的距離是，所以，綜上所述，的面積是定值．

試題解析：（1）由已知可得：，，

∴，

又由已知得：，∴，

∴橢圓的方程為，

（2）設(shè)、、，則因重心是原點可得：

，

∴，

當(dāng)直線的斜率不存在時，或，此時

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

由可得：，

∴

∴

∵在橢圓上，∴

∴，，

∴，

而

點到直線的距離是

∴

綜上所述，的面積是定值．

考點：1.橢圓的方程與性質(zhì)；2.直線與橢圓相交的相關(guān)問題；3.三角形的重心與面積計算