Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lna為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lna為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），進(jìn)而得到實數(shù)a的值；
（2）$f（x）=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
證法一：任取1＜x₁＜x₂，作差判斷出f（x₁）＜f（x₂），根據(jù)單調(diào)性的定義，可得$f（x）=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，得到：f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{a}{x}+lna$為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴$-x-\frac{a}{x}+lna=-（x+\frac{a}{x}+lna）$，
∴l(xiāng)na=0，
∴a=1．…（4分）
（2）$f（x）=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．…（5分）
證法一：設(shè)1＜x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．…（9分）
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．…（12分）
證法二：∵$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
∴$f′（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$，…（9分）
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．