Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-1．若對(duì)任意正整數(shù)n都有λS_n+1-S_n＜0恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（　�。�

• A． λ＜1
• B． $λ＜\frac{1}{2}$
• C． $λ＜\frac{1}{3}$
• D． $λ＜\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得S_n，代入不等式λS_n+1-S_n＜0，化簡(jiǎn)利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-1，∴n=1時(shí)，S₁=2S₁-1，解得S₁=1；
由S_n+1=2（S_n+1-S_n）-1，變形為：S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2．
∴S_n+1=2ⁿ，即S_n=2ⁿ-1．
不等式λS_n+1-S_n＜0即λ（2ⁿ⁺¹-1）＜2ⁿ-1，化為：λ＜$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$，
由于數(shù)列$\{-\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}\}$單調(diào)遞增，∴n=1時(shí)取得最小值-$\frac{1}{6}$，
對(duì)任意正整數(shù)n都有λS_n+1-S_n＜0恒成立，∴$λ＜\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為$λ＜\frac{1}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．