分析 (1)利用SA⊥平面ABC,根據(jù)三垂線(xiàn)定理,可得SC⊥BC.
(2)先計(jì)算S△ABC,再求三棱錐的體積VS-ABC.
(3)由于BC⊥AC,SC⊥BC,可知∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.在Rt△SCB中,求得SC=10,在Rt△SAC中,可求側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大。
解答 證明:(1)∵∠SAB=∠SAC=90°,
∴SA⊥AB,SA⊥AC.
又AB∩AC=A,∴SA⊥平面ABC.
由于∠ACB=90°,即BC⊥AC,
由三垂線(xiàn)定理,得SC⊥BC.
解:(2)在Rt△SAC中,
∵SA=$\sqrt{S{C}^{2}-A{C}^{2}}$=5$\sqrt{3}$.
S△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$.
∴VS-ABC=$\frac{1}{3}$•S△ACB•SA=$\frac{1}{3}$×$\frac{25}{2}×5\sqrt{3}=\frac{125\sqrt{3}}{6}$.
(3)∵BC⊥AC,SC⊥BC
∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中,BC=5,SB=5$\sqrt{5}$.
得SC=$\sqrt{S{B}^{2}-B{C}^{2}}$=10
在Rt△SAC中,AC=5,SC=10,cosSCA=$\frac{AC}{SC}$=$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,
∴∠SCA=60°,
即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°.
點(diǎn)評(píng) 本題以三棱錐為載體,考查線(xiàn)線(xiàn)垂直,考查線(xiàn)面角,考查幾何體的體積,關(guān)鍵是作出二面角的平面角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | -1 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{7}{10}$ | D. | $\frac{3}{10}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 不存在與a平行的直線(xiàn) | B. | 存在唯一一條與a平行的直線(xiàn) | ||
C. | 存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn) | D. | 只有兩條與a平行的直線(xiàn) |
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A. | λ<1 | B. | $λ<\frac{1}{2}$ | C. | $λ<\frac{1}{3}$ | D. | $λ<\frac{1}{4}$ |
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A. | [-1,1] | B. | (-∞,-1]∪[1,+∞) | C. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | D. | (-1,1) |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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