Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），其焦點為F（1，0），過F作斜率為k的直線交拋物線C于A、B兩點，交其準線于P點．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）設|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|，若k∈[$\frac{1}{4}$，1]，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用拋物線的焦點坐標，計算即可得到所求方程；
（Ⅱ）由題可知：直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），準線l的方程為x=-1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理，運用不等式的性質，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為焦點F（1，0），所以$\frac{p}{2}=1$，解得p=2．    …（4分）
（Ⅱ）由題可知：直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），準線的方程為x=-1…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$|{PA}|=\sqrt{1+{k^2}}（{{x_1}+1}），|{PB}|=\sqrt{1+{k^2}}（{{x_2}+1}），|{PF}|=2\sqrt{1+{k^2}}$．…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
故${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=1$．                          …（10分）
由|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|得$（{{x_1}+1}）+（{{x_2}+1}）=2λ（{1+{k^2}}）•（{{x_1}+1}）•（{{x_2}+1}）$
解得$λ=\frac{1}{{2（{1+{k^2}}）}}$．（13分），
因為k∈[$\frac{1}{4}$，1]，所以λ∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{8}{17}$]．     …（15分）

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，注意運用弦長公式和拋物線的定義，考查運算能力，屬于中檔題．