Question

2．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F為圓C：x²+y²-4x+3=0的圓心
（1）求拋物線的準線方程；
（2）直線l與圓C相切，交拋物線A、B兩點，求$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圓C：x²+y²-4x+3=0配方可得：（x-2）²+y²=1，可得圓心C（2，0）．可得拋物線的焦點F（2，0）．因此$\frac{p}{2}$=2，解得p，即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為：my+t=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直線l與圓C相切，可得：（t-2）²=m²+1≥1．t≥3，或t≤1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為：y²-8my-8t=0，△＞0．進而得到t≥3，或-2m²＜t≤1．利用數(shù)量積運算性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系可得：$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂═-15t²+52t-44=$-15（t-\frac{26}{15}）^{2}$+$\frac{16}{15}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由圓C：x²+y²-4x+3=0配方可得：（x-2）²+y²=1，可得圓心C（2，0）．
∴拋物線的焦點F（2，0）．
∴$\frac{p}{2}$=2，解得p=4．
∴拋物線的準線方程為：x=-2．
（2）設(shè)直線l的方程為：my+t=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直線l與圓C相切，∴$\frac{|2-t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=1，化為：（t-2）²=m²+1≥1．
∴t≥3，或t≤1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為：y²-8my-8t=0，
△=64m²+32t＞0．∴t＞-2m²．
∴t≥3，或-2m²＜t≤1．
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8t．
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（my₁+t-2）（my₂+t-2）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（t-2）（y₁+y₂）+（t-2）²
=-8t（m²+1）+8m²（t-2）+（t-2）²
=-8t（t-2）²+8[（t-2）²-1]（t-2）+（t-2）²
=-15t²+52t-44
=$-15（t-\frac{26}{15}）^{2}$+$\frac{16}{15}$∈（-∞，-7]．
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$的取值范圍是（-∞，-7]．

點評 本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．