Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，點D是AB的中點．求證：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）AC⊥BC₁．

Answer 1

分析 （1）設BC₁與B₁C的交點為O，連結OD，推導出OD∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面B₁CD．
（2）由CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AC，又AC⊥BC，由此能證明AC⊥BC₁．

解答 證明：（1）設BC₁與B₁C的交點為O，連結OD，
BCC₁B₁為平行四邊形，所以O為B₁C中點，又D是AB的中點，
所以OD是△ABC₁的中位線，OD∥AC₁，
又因為AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
所以CC₁⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁，
所以AC⊥BC₁．

點評 本題考查線面平行、線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．