Question

3．在四棱錐P-ABCD中，直線AP，AB，AD兩兩相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．
（1）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（2）求鈍二面角B-PC-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PC與BD所成角的余弦值．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出鈍二面角B-PC-D的大小．

解答 解：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AP=AB=AD=2BC=2，
則P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
設(shè)異面直線PC與BD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{9}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴異面直線PC與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
（2）$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，
得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2a+b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=2b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，2），
設(shè)鈍二面角B-PC-D的平面角為θ，
cosθ=-|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=-|$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{9}}$|=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=135°，
∴鈍二面角B-PC-D的大小為135°．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查鈍二面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．