Question

已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)（2，

5

3

）過左焦點(diǎn)F₁，斜率為k₁，（k₁≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（2，

5

3

），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)直線CD的斜率為k₂，求證：

k1

k2

為定值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，利用橢圓的定義，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）確定直線AB的方程，代入橢圓方程，即可求得C是坐標(biāo)；
（III）確定AR的方程，代入橢圓方程，進(jìn)而確定C的坐標(biāo)，同理可得D的坐標(biāo)，由此化簡，即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：∵橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），
∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴2a=

42+( 5 2

)2+

( 5 3 )2

=6，
∴a=3，b²=a²-c²=5，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

5

=1；
（II）解：直線AB的方程為y=

5

3

(x-1)，代入橢圓方程，可得3x²-5x-2=0
解得x=2（舍去）或x=-

1

3

代入直線AB的方程，得y=-

20

9

∴C的坐標(biāo)為（-

1

3

，-

20

9

）；
（III）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
直線AR的方程為y=

y1

x1-1

（x-1），即x=

x1-1

y1

y+1．
代入橢圓方程，可得消去x并整理，得

5-x1

y12

y²+

x1-1

y1

y-4=0
∴y₁y₃=-

4y12

5-x1

，∵y₁≠0，∴y₃=

4y1

x1-5

，
代入AR的方程，可得x₃=

5x1-9

x1-5

，∴C（

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

），
同理D（

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

）
∴k₂=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

4y1(x2-5)-4y2 (x1-5)

16(x2-x1)

∵A，F(xiàn)₁，B三點(diǎn)共線，∴

y1

x1+2

=

y2

x2+2

∴y₁x₂-y₂x₁=2（y₂-y₁）
∴k₂=

7

4

•

y2-y1

x2-x1

∵k1=

y2-y1

x2-x1

∴

k1

k2

為定值

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．