Question

8．求適合下列條件的雙曲線的標準方程
（Ⅰ）過點（3，-1），且離心率$e=\sqrt{2}$；
（Ⅱ）一條漸近線為$y=-\frac{3}{2}x$，頂點間距離為6．

Answer 1

分析 （I）由離心率$e=\sqrt{2}$，可得此雙曲線為等軸雙曲線，又過點（3，-1），因此焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程為：x²-y²=a²（a＞0），把點的坐標代入即可得出．
（II）①當焦點在x軸上時，設雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得即可得出．
②當焦點在y軸上時，設雙曲線的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得即可得出．

解答 解：（I）∵離心率$e=\sqrt{2}$，∴此雙曲線為等軸雙曲線，
過點（3，-1），因此焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程為：x²-y²=a²（a＞0），
∴a²=9-1=8，∴雙曲線方程為x²-y²=8．
（II）①當焦點在x軸上時，設雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．
由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得a=3，b=$\frac{9}{2}$．∴標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{4{y}^{2}}{81}$=1．
②當焦點在y軸上時，設雙曲線的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．
由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得a=3，b=2．∴標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．